lunes, 4 de junio de 2012

TRABAJO DE APLICACIÓN EN TECNOLOGÍA
OBJETIVO: PUBLICAR UN BLOG EN INTERNET
TEMA: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
MARCO TEÓRICO



Aplicaciones de la Integral

Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” se tienen:
·        Área entre curvas.
·        Sólidos de revolución.
·        Longitud de curvas.
·        Centroides de figuras planas.
·        Momentos de Inercia de cuerpos planos.
El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.
Área entre la curva y el eje x

En efecto, ya lo hemos señalado, integral no es lo mismo que área, ya que el concepto de integral es realmente un concepto mucho más amplio y que se puede aplicar a infinidad de situaciones novedosas.  Por otro lado, realizando las correcciones necesarias respecto de los valores negativos que pueda tomar una función en un intervalo la integral calcula perfectamente el área entre el eje x y una curva dada.
Pero el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización.
Longitud de una curva

La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que muchas de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera son planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el contrario! El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad del concepto ¡no deja de ser una suma!!!!! 
Pero ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera muy eficiente.
Integración numérica

Es verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en cualquier situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades y el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y como la integral nos auxilia a calcular volúmenes.
Superficies y sólidos de Revolución


En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.

Momentos de Inercia

Las aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el panorama para que en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.

EJERCICIOS


1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
6.Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
8. Hallar el área limitada por la recta ecuación de la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
9.Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.
11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
14. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje O X.

SOLUCIÓN Y GRÁFICAS
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
de presentación de la recta
área de la recta
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
ecuación
parábola
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
área de la curva
Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
ecuación de la recta
Ecuación de la recta que pasa por BC:
ecuación de la recta
representación gráfica
integrales
operaciones
solución
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
sistema de ecuaciones
solución
representación gráfica
solución

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

5

Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
la gráfica·
solución

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

6

Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
sistema de ecuaciones
representación gráfica
integral
solución

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

7

Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
ecuación de la recta
representación gráfica
sistema de ecuaciones
solución

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

8

Hallar el área limitada por la recta ecuación de la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
representación gráfica
integral
integral
solución

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

9

Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
ecuación
representación gráfica
área

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

10

Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.
Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.
punto de corte
representación gráfica
El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.
El área de rectángulo es base por altura.
área del rectángulo
El área bajo la curva y = ln x es:
integral definida
derivar
integrar
integral de indefinida
integral definida
área total

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

11

·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
circunferencia de radio 3
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área
área del círculo

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

12

Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
elipse
ecuación del elipse
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
área
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área del elipse

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

13

Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
puntos de corte con los ejes
Función a trozos
representación gráfica
área

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

14

Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
sistema de ecuaciones
GRÁFICA
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
integral
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
integral
área total

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

15

Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:
puntos de corte
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):
pendiente
ecuación de la tangente
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):
pendiente
ecuación de la tangente
representación gráfica
integrales
solución
Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
la gráfica·
solución
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
sistema de ecuaciones
representación gráfica
integral
solución
Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
ecuación de la recta
representación gráfica
sistema de ecuaciones
solución
Hallar el área limitada por la recta ecuación de la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
representación gráfica
integral
integral
solución



Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
ecuación
representación gráfica
área

Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.
Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.
punto de corte
representación gráfica
El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.
El área de rectángulo es base por altura.
área del rectángulo
El área bajo la curva y = ln x es:
integral definida
derivar
integrar
integral de indefinida
integral definida
área total
·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
circunferencia de radio 3
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área
área del círculo
Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
elipse
ecuación del elipse
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
área
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área del elipse
Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
puntos de corte con los ejes
Función a trozos
representación gráfica
área
Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
sistema de ecuaciones
GRÁFICA
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
integral
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
integral
área total
Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:
puntos de corte
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):
pendiente
ecuación de la tangente
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):
pendiente
ecuación de la tangente
representación gráfica
integrales
solución







Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

11

·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
circunferencia de radio 3
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área
área del círculo

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

12

Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
elipse
ecuación del elipse
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
área
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área del elipse

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

13

Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
puntos de corte con los ejes
Función a trozos
representación gráfica
área

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

14

Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
sistema de ecuaciones
GRÁFICA
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.
integral
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.
integral
área total

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la integral. Áreas

15

Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:
puntos de corte
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):
pendiente
ecuación de la tangente
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):
pendiente
ecuación de la tangente
representación gráfica
integrales
solución


link para ver los videos
http://www.youtube.com/watch?v=TqYpJ0BhEdI&feature=related