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TEMA: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
MARCO TEÓRICO
Aplicaciones de la
Integral
Dentro
de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa mediante
integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” se
tienen:
·
Área
entre curvas.
·
Sólidos
de revolución.
·
Longitud
de curvas.
·
Centroides
de figuras planas.
·
Momentos
de Inercia de cuerpos planos.
El
objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes
aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó
los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.
Área entre la curva y el eje x
En
efecto, ya lo hemos señalado, integral no es lo mismo que área, ya que el
concepto de integral es realmente un concepto mucho más amplio y que se puede
aplicar a infinidad de situaciones novedosas.
Por otro lado, realizando las correcciones necesarias respecto de los
valores negativos que pueda tomar una función en un intervalo la integral
calcula perfectamente el área entre el eje x y una curva
dada.
Pero
el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas
curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización.
Longitud de una curva
La
integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que muchas de
las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera son
planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el
contrario! El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad
del concepto ¡no deja de ser una suma!!!!!
Pero
ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera muy
eficiente.
Es
verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de
área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en cualquier
situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades y el
volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y como
la integral nos auxilia a calcular volúmenes.
Superficies y sólidos de Revolución
En
los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de
esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los
efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos
necesarios para el estudio de cantidades físicas como las
mencionadas.
Las
aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han presentado
algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el panorama para que en
nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos rodean todos los días,
observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.
EJERCICIOS
1. Hallar el área limitada por
la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
2. Calcular el área del
recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
3.Calcular el área del
triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
4. Calcular el área limitada
por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.
5. Calcular el área limitada
por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
6.Calcular el área limitada
por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.
7. Calcular el área del
recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por
los puntos (−1, 0) y (1, 4).
8. Hallar el área limitada por
la recta 
, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x =
4.
, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x =
4.
9.Calcular el área limitada
por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
10. Hallar el área de la
región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes
coordenados.
11. Calcular el área de la
región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
12. Hallar el área de una
elipse de semiejes a y b.
13. Calcular el área de la
región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje
OX.
14. Hallar el área de la
figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
15. Hallar el área del recinto
plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la
curva en los puntos de intersección con el eje O X.
SOLUCIÓN Y GRÁFICAS
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje
OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9
− x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje
OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área
será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6,
3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Ecuación de la recta que pasa por BC:
Calcular el área limitada por las gráficas de las
funciones y2 = 4x e y = x2.
Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX
y las rectas: x = 6, x = 12.
·
Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 −
x2) y la recta y = −1.
Calcular el área del recinto limitado por la parábola y =
x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
Hallar el área limitada por la recta , el eje de
abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
, el eje de
abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
Calcular el área limitada por la curva y = 6x2
− 3x3 y el eje de abscisas.
Hallar el área de la región del plano limitada por las
curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.
Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y =
2.
El área es igual al área del rectángulo OABC menos el
área bajo la curva y = ln x.
El área de rectángulo es base por altura.
El área bajo la curva y = ln x es:
·Calcular el área de la región del plano limitada por el
círculo x2 + y2 = 9.
El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de
coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida
será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de
coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Calcular el área de la región del plano limitada por la
curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
Hallar el área de la figura limitada por: y =
x2, y = x, x = 0, x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.
De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la
parábola.
De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la
parábola.
Hallar el área del recinto plano y limitado por la
parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de
intersección con el eje OX.
Puntos de intersección:
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0,
0):
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4,
0):
link para ver los videos
http://www.youtube.com/watch?v=TqYpJ0BhEdI&feature=related
